Rangkaian Arus Bolak Balik

Rangkaian Arus Bolak Balik

Sumber arus bolak-balik adalah generator arus bolak-balik yang prinsip kerjanya pada perputaran kumparan dengan kecepatan sudut ω yang berada di dalam medan magnetik. Sumber ggl bolak-balik tersebut akan menghasilkan tegangan sinusoida berfrekuensi f. Dalam suatu rangkaian listrik, simbol untuk sebuah sumber tegangan gerak elektrik bolak-balik adalah :

Tegangan sinusoida dapat dituliskan dalam bentuk persamaan tegangan sebagai fungsi waktu, yaitu:

V = V_m.sin 2π.f.t .................................................. (1)

Tegangan yang dihasilkan oleh suatu generator listrik berbentuk sinusoida. Dengan demikian, arus yang dihasilkan juga sinusoida yang mengikuti persamaan:

I = I_m.sin 2π.f.t .................................................... (2)

dengan I_m adalah arus puncak dan t adalah waktu. 

Untuk menyatakan perubahan yang dialami arus dan tegangan secara sinusoida, dapat dilakukan dengan menggunakan sebuah diagram vektor yang berotasi, yang disebut diagram fasor. Istilah fasor menyatakan vektor berputar yang mewakili besaran yang berubah-ubah secara sinusoida. Panjang vektor menunjukkan amplitudo besaran, dan vektor ini dibayangkan berputar dengan kecepatan sudut yang besarnya sama dengan frekuensi sudut besaran. Sehingga, nilai sesaat besaran ditunjukkan oleh proyeksinya pada sumbu tetap. Cara ini baik sekali untuk menunjukkan sudut fase antara dua besaran. Sudut fase ini ditampilkan pada sebuah diagram sebagai sudut antara fasor-fasornya.

Materi Fisika :

Generator pada pusat pembangkit listrik modern tidak menghasilkan listrik pada tegangan tinggi yang mencukupi untuk transmisi yang efisien. Tegangan dinaikkan dengan transformator step-up supaya transmisi jarak jauh menjadi efisien.

Gambar 2. Diagram fasor arus dan tegangan berfase sama.

Gambar 2. memperlihatkan diagram fasor untuk arus sinusoida dan tegangan sinusoida yang berfase sama yang dirumuskan pada persamaan (1) dan (2). Ketika di kelas X kita telah mempelajari dan mengetahui bahwa:

yang menyatakan akar kuadrat rata-rata tegangan. Dan akar kuadrat rata-rata arus, yang dirumuskan:

Nilai rms dari arus dan tegangan tersebut kadang-kadang disebut sebagai “nilai efektif ”.

1. Rangkaian Resistor

Gambar 3(a) memperlihatkan sebuah rangkaian yang hanya memiliki sebuah elemen penghambat dan generator arus bolak-balik.

Gambar 3. (a) Rangkaian dengan sebuah elemen penghambat (b) Arus berfase sama dengan tegangan (c) Diagram fasor arus dan tegangan.

Karena kuat arusnya nol pada saat tegangannya nol, dan arus mencapai puncak ketika tegangan juga mencapainya, dapat dikatakan bahwa arus dan tegangan sefase (Gambar 3(b)). Sementara itu, Gambar 3(c) memperlihatkan diagram fasor arus dan tegangan yang sefase. Tanda panah pada sumbu vertikal adalah nilai-nlai sesaat. Pada rangkaian resistor berlaku hubungan:

V_R = V_m .sin 2π .f.t

V_R = V_m .sin ωt ....................................................... (5)

Jadi,

I_R = V_R/R = (V_m/R) sin ωt 

I_R = I_m.sin ωt ......................................................... (6)

Sehingga, pada rangkaian resistor juga akan berlaku hubungan sebagai berikut:

Contoh Soal 1 :

Dalam rangkaian AC seperti yang diperlihatkan pada gambar, R = 40Ω, V_m = 100 V, dan frekuensi generator f = 50 Hz. Dianggap tegangan pada ujung-ujung resistor V_R = 0 ketika t = 0. Tentukan:

a. arus maksimum,

b. frekuensi sudut generator,

c. arus melalui resistor pada t = 1/75 s

d. arus melalui resistor pada t = 1/150 s

Penyelesaian:

a. Rangkaian resistor murni, Im dapat dicari dengan persamaan:

I_m = V_m/R = 100/40 = 2,5 A

b. Frekuensi sudut anguler (ω)

ω = 2. π .f = 2. π .50 = 100 π

c. Untuk rangkaian resistor murni, tegangan sefase dengan arus, sehingga untuk V = V_m.sin ωt, maka I = I_m.sin ωt. Persamaan arus sesaat yaitu: 

I(_t) = I_m.sin ωt = 2,5 sin ωt

2. Rangkaian Induktif

Gambar 4. (a) Rangkaian induktif (b) Arus berbeda fase dengan tegangan (c) Diagram fasor arus dan tegangan yang berbeda fase.

Gambar 4. memperlihatkan sebuah rangkaian yang hanya mengandung sebuah elemen induktif. Pada rangkaian induktif, berlaku hubungan:

Tegangan pada induktor V_L setara dengan tegangan sumber V, jadi dari persamaan (9) dan (10) akan diperoleh:

diketahui bahwa :

maka,

Jika ωL = 2π fL didefinisikan sebagai reaktansi induktif (X_L), maka dalam suatu rangkaian induktif berlaku hubungan sebagai berikut:

Perbandingan persamaan (10) dan (12) memperlihatkan bahwa nilai V_L dan I_L yang berubah-ubah terhadap waktu mempunyai perbedaan fase sebesar seperempat siklus. Hal ini terlihat pada Gambar 4(b), yang merupakan grafik dari persamaan (10) dan (12).

Dari gambar terlihat bahwa V_L mendahului I_L, yaitu dengan berlalunya waktu, maka V_L mencapai maksimumnya sebelum I_L mencapai maksimum, selama seperempat siklus. Sementara itu, pada Gambar 4(c), pada waktu fasor berotasi di dalam arah yang berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka terlihat jelas bahwa fasor V_L,m mendahului fasor I_L,m selama seperempat siklus.

Contoh Soal 2 :

Sebuah induktor 0,2 henry dipasang pada sumber tegangan arus bolak-balik, V = (200. sin 200t) volt. Tentukan persamaan arus yang mengalir pada rangkaian tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui: 

V = (200 sin 200t) volt

L = 0,2 H

Ditanya: I = ... ?

Pembahasan :

V = V_m.sinωt

V = 200.sin 200t

Dari persamaan diketahui V_m = 200 volt dan ω= 200 rad/s, maka:

X_L = ω.L= (200)(0,2)

X_L = 40Ω

I_m = V_m / X_L = 200 / 40 = 5 A

Dalam rangkaian ini arus tertinggal π/2rad terhadap tegangan, sehingga:

3. Rangkaian Kapasitor

Gambar 5. Macam-macam kapasitor. [2]

Gambar 6. memperlihatkan sebuah rangkaian yang hanya terdiri atas sebuah elemen kapasitif dan generator AC. Pada rangkaian tersebut berlaku hubungan:

V_c = V = V_m.sin ωt ................................................. (15)

Dari definisi C diperoleh hubungan bahwa V_C = Q/C, maka akan diperoleh:

Q = C.V_m.sin ωt 

atau

I_C = dQ/dt = ω.C.V_m.cos ωt ...................................... (16)

Diketahui bahwa :

maka akan diperoleh:

Jika didefinisikan sebuah reaktansi kapasitif (X_C), adalah setara dengan 1/ω.C atau 1/2 π.f.C, maka dalam sebuah rangkaian kapasitif akan berlaku hubungan sebagai berikut:

Persamaan (15) dan (16) menunjukkan bahwa nilai V_C dan L_C yang berubah-ubah terhadap waktu adalah berbeda fase sebesar seperempat siklus. Hal ini dapat terlihat pada Gambar 6(b), yaitu V_C mencapai maksimumnya setelah I_C mencapai maksimum, selama seperempat siklus. Hal serupa juga diperlihatkan pada Gambar 6(c), yaitu sewaktu fasor berotasi di dalam arah yang dianggap berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka terlihat jelas bahwa fasor V_C,m tertinggal terhadap fasor I_C,m elama seperempat siklus.

Gambar 6. (a) Rangkaian kapasitif (b) Perbedaan potensial kapasitor terhadap arus (c) Diagram fasor rangkaian kapasitif.

Contoh Soal 2 :

Sebuah kapasitor 50 μF dihubungkan dengan sumber tegangan arus bolak-balik. Arus yang mengalir pada rangkaian adalah I = (4.sin 100t) A. Tentukan persamaan tegangan pada kapasitor itu!

Penyelesaian:

Diketahui: 

C = 50 μF = 5 × 10^-5 F

I = (4.sin 100t) A

Ditanya: Persamaan tegangan, V = ...?

Pembahasan :

I = (I_m.sin ω ) A

I = (4.sin100t) A

maka, I_m = 4 A, dan ω = 100 rad/s

Percobaan Sederhana / Praktikum Fisika 1 :

Tujuan : Mengetahui rangkaian kapasitor dan listrik bolak-balik.

Alat dan bahan : Trafo adaptor, kabel penghubung, kapasitor, amperemeter, voltmeter, dan CRO.

Cara Kerja :

1. Rangkailah alat dan bahan secara seri sesuai gambar.
2. Bacalah nilai beda potensial pada kapasitor dengan voltmeter yang tersedia.
3. Gambarkan bentuk V_C yang ditampilkan oleh CRO.
4. Bacalah nilai beda potensial pada kapasitor dengan CRO yang tersedia.
5. Carilah harga efektif berdasarkan pembacaan CRO.
6. Ulangilah langkah 2 - 4 untuk berbagai jenis kapasitor berdasarkan kapasitasnya.
7. Carilah harga impedansi induktor bilamana f = 60 Hz berdasarkan harga kapasitansi yang tercantum pada kapasitor.
8. Catatlah hasil percobaan dengan mengikuti format tabel berikut ini.

Diskusi :

1. Gambarkanlah bentuk grafik yang ditampilkan oleh rangkaian kapasitor sederhana sesuai dengan percobaan!
2. Berapakah V_C efektifnya?
3. Apakah nilai X_C = 1/2 π.f.C = V_C/IR ?
4. Tulislah kesimpulan dari percobaan yang telah kalian lakukan!

4. Rangkaian Seri RLC

Pada bagian sebelumnya telah dibahas mengenai rangkaian-rangkaian R, C, dan L yang dihubungkan terpisah. Maka pada bagian ini kita akan membahas sebuah rangkaian seri yang di dalamnya terdapat ketiga elemen tersebut, yang sering disebut rangkaian seri RLC, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.

Gambar 7. Rangkaian seri RLC.

Berdasarkan persamaan (1), tegangan gerak elektrik untuk Gambar 7. diberikan oleh persamaan:

V = V_m.sin ω .................................................... (20)

Arus (tunggal) di dalam rangkaian tersebut adalah:

I = I_m.sin (ω − φ) .............................................. (21)

Dengan ω adalah frekuensi sudut tegangan gerak elektrik bolak-balik pada persamaan (20). I_m adalah amplitudo arus dan φ menyatakan sudut fase di antara arus bolak-balik pada persamaan (21) dan tegangan gerak elektrik pada persamaan (20). Pada Gambar 7.7 tersebut akan berlaku persamaan:

V = V_R + V_C + V_L .................................................... (22)

Setiap parameter merupakan kuantitas-kuantitas yang berubah-ubah terhadap waktu secara sinusoida. Diagram fasor yang diperlihatkan pada Gambar 8. menunjukkan nilai-nilai maksimum dari I, V_R, V_C, dan V_L.

Gambar 8. Diagram fasor yang bersesuain dengan gambar 7.

Proyeksi-proyeksi fasor pada sumbu vertikal adalah sama dengan V, seperti yang dinyatakan pada persamaan (22).

Sebaliknya, dinyatakan bahwa jumlah vektor dari amplitudo-amplitudo fasor V_R,m, V_C,m, dan V_L,m menghasilkan sebuah fasor yang amplitudonya adalah V pada persamaan (20). Proyeksi V_m pada sumbu vertikal, merupakan V dari persamaan (20) yang berubah terhadap waktu.

Gambar 9. Diagram fasor memperlihatkan hubungan antara V dan I  pada persamaan 20 dan 21.

Kita dapat menentukan V_m pada Gambar 9, yang di dalamnya telah terbentuk fasor V_L,m - V_C,m. Fasor tersebut tegak lurus pada V_R,m, sehingga akan diperoleh:

Kuantitas yang mengalikan I_m disebut impedansi (Z) rangkaian pada Gambar 7. Jadi, dapat dituliskan:

I_m = V_m/Z ............................................................... (24)

Diketahui bahwa X_L = ω_L dan X_C = 1/ω_C. Maka dari persamaan (23) dan (24) akan diperoleh:

Untuk menentukan sudut fase φ di antara I dan V, dapat dilakukan dengan membandingkan persamaan (20) dan (21). Dari Gambar 7. dapat kita tentukan bahwa sudut φ dinyatakan:

Pada Gambar 9. menunjukkan nilai X_L > X_C, yaitu bahwa rangkaian seri dari Gambar 7. lebih bersifat induktif daripada bersifat kapasitif. Pada keadaan ini V_m mendahului I_m (walaupun tidak sebanyak seperempat siklus seperti pada rangkaian induktif murni dari Gambar 3. Sudut fase φ pada persamaan (26) adalah positif.

Tetapi, jika X_C > X_L, maka rangkaian tersebut akan lebih bersifat kapasitif daripada bersifat induktif, dan V_m akan tertinggal terhadap I_m (walaupun tidak sebanyak seperempat siklus seperti pada rangkaian kapasitif murni).

Berdasarkan perubahan ini, maka sudut φ pada persamaan (26) akan menjadi negatif.

Contoh Soal 3 :

Rangkaian seri RLC, dengan masing-masing R = 30Ω, L = 0,6 H, dan C = 500 μF dipasang pada sumber tegangan bolak-balik dengan V = (200. sin 100t) volt. Tentukan:

a. impedansi rangkaian,

b. persamaan arus pada rangkaian!

Penyelesaian:

Diketahui: 

Rangkaian seri RLC

R = 30Ω , 

L = 0,6 H, 

C = 500 μF = 5 ×10^-4 F

V = (200.sin 100t) volt

Ditanyakan: 

a. Z = ... ?

b. Persamaan I = ... ?

Pembahasan :

a. V = V_m.sin ωt

V_m = 200

V = (200 sin 100t) volt

ω = 100 rad/s

X_L = ωt = (100)(0,6) = 60 Ω

b. I_m = V_m/Z = 200/40 = 4 A

X_L > X_C, rangkaian bersifat induktif atau tegangan mendahului arus dengan beda fase 0.

Contoh Soal 4 :

Hambatan R, induktor L, dan kapasitor C, masing-masing mempunyai nilai 300Ω ; 0,9 H; dan 2 μF . Ketiga komponen listrik tersebut dihubungkan seri dan diberi tegangan efektif AC sebesar 50 volt dengan kecepatan sudut 1.000 rad/s. Tentukan:

a. impedansi rangkaian, c. tegangan pada L,

b. arus efektif rangkaian, d. tegangan pada C!

Penyelesaian:

Diketahui: 

R = 300 Ω

L = 0,9 H

C = 2 μF = 2 × 10^-6 F

V_ef = 50 V

ω = 1.000 rad/s

Ditanya: 

a. Z = ... ? 

b. I_ef = ... ? 

c. V_L = ... ?

d. V_C = ... ?

Jawab:

b. Arus efektif

I_ef = V/Z = 50 V / 500 Ω = 0,1 A

c. V_L = I . X_L = (0,1 A)(900 Ω ) = 90 volt

d. V_C = I . X_C = (0,1 A)(500 Ω ) = 50 volt

Percobaan Sederhana / Praktikum Fisika 1 :

Tujuan : Mengetahui rangkaian seri RLC.

Alat dan bahan : Trafo adaptor, kabel penghubung, resistor, induktor, kapasitor, amperemeter, voltmeter, dan CRO.

Cara Kerja :

1. Rangkailah sebuah rangkaian seri sesuai dengan gambar di samping.
2. Bacalah nilai beda potensial pada resistor, induktor, dan kapasitor dengan voltmeter yang tersedia.
3. Gambarlah bentuk grafik V_R, V_L, dan V_C yang ditampilkan CRO.
4. Bacalah nilai beda potensial pada resistor, induktor, dan kapasitor dengan CRO yang tersedia.
5. Carilah harga efektif berdasarkan pembacaan CRO.
6. Ulangilah langkah 2 - 5 untuk berbagai jenis resistor, induktor, dan kapasitor berdasarkan harganya.
7. Carilah nilai impedansi rangkaian.